让概率来帮我们预测未来——数学与水晶球
概率论，不只是数学作业中投骰子的问题，而是切实可以预测未来的东西，指导我们应对诸如灾难预警、疾病检测等现实问题——它就是数学家手中的水晶球。
人们都想希望能够预见未来，比如想知道明天的天气如何；想知道我们是否为自己将来的退休生活储备了足够的积蓄；想知道我们与朋友的友谊将如何发展；或者是知道在大学里学什么课程能够给我们带来快乐。事实上，使用数学工具可能会比用水晶球更有效的预测未来。我们都喜欢岁月安好，并尽可能避免不愉快的时光。然而，人们做的每一件事都可能产生负面结果，因此我们一直在寻找一些方法来规避这些风险。而数学往往能帮助我们。
灾难预测带来的麻烦，对于那些想过上“无忧无虑”生活的人来说，很少有地方不会遭受“外界”危险的侵袭。比如说，在美国，一些地区容易遭受龙卷风、大雪侵袭；其他地方有洪灾、飓风，和地震等灾害。在这些由于“大自然的行为”导致受灾的地区，如果我们能够作出灾难预测，使得没有人员伤亡，财产损失降到最小，那就太好了。如今，人们已经开发了一些数学模型以协助处理各类自然灾害。我们所依赖的最常见的预测模型就是越来越准确的一周天气预报。这些预报是科学家基于卫星、陆基监测以及传感器系统的数据给出的。另一方面，这些预测还依赖于以偏微分方程理论和求解这些方程的数值方法为基础建立的大气模型——计算能力和理论的突飞猛进使这些报告更加可靠。
一个有趣例子发生在2009年的意大利。一群意大利地质学家和一个政府官员，因被指控未能对2009年意大利拉奎拉地震给出恰当的警告而受到了审判，此次地震造成309人死亡。世界各地的地质学家忧心忡忡，他们理解，尽管在试图预警方面的技术我们取得了很大的进步，但是预测，得到的仅仅是有概率发生而非确定发生。经过审判，7人被判犯有过失杀人罪，处以六年徒刑。让全世界科学家长舒一口气的是，在2014年，上诉法院释放了这些地质学家，并为政府官员减刑。但是那些死者的亲属还是在法庭上谴责政府为自己脱罪的行为。
当一个大风暴来临时，天气预报员如果没能够对潜在危险发出足够严重的警告，他们应该受到指责吗？有时候因为预报原因，可能被大风暴破坏的运输系统被抢先关闭，这会给许多人造成了巨大的后勤和经济问题。如果风暴没有如期而至——这样的事情时有发生，对于许多人来说反而是略有失落的。但反过来说，当人们可能获救的时候，有些人反应不够强烈，这就涉及到“意大利地震”事件中的问题。当然了，与天气预报相比，地震的预测要落后太多了。
另一个例子是传染病。有些传染病（例如流感）会每年都会流行，也有周期性的几年流行一次。对于小孩来说，得了百日咳或者麻疹可能会导致死亡；而对于老人来说，他们不知道年轻时接种的一些疫苗还是否有效。此外，如果这时流感出现，老年人可能会受更严重的影响。因为较于年轻人得了流感可能没有大碍，可老人得了流感会导致肺炎或者患上其他危及生命的疾病。那么，父母应该给孩子接种疫苗吗？老人们应该接种流感疫苗吗？
虽然一些人有过敏反应，但是从长期的疫苗接种史来看，疫苗极大的延长了人们的寿命，改善了生活的质量。
风险行为，美国强力球（Power Ball）彩票推出了16亿美元的惊人巨奖！从业者对彩票和赌场赌博有信心的一个重大原因是，数学告诉他们只要有很多的消费者，这些“产业”就会蓬勃发展。如果一个人拥有一个能帮助他选择正确彩票的水晶球，他会赚得盆满钵满。
无论是作为个人还是团体的一部分，思考未来时，人们总是对未来抱有期望——有时候是美好的期望，有时候则显得不那么吸引人。对于理解未来能带给我们什么，数学的一个贡献就在于带来了“期望值（expected value）”的概念。当时数学家们使用这一术语时，他们脑中有一个极其精确的定义，但这个定义有许多微妙之处。人们对未来感到紧张的一个原因是他们不确定将来会发生什么。未来涉及随机性和概率（chance，danomness，stochasticness， probability）。为了理解期望值的含义，我们首先要谈一下概率论。
我们经常会听到类似如下关于未来的表达：下雨的概率70％；这个地点再次发生地震的概率是一百万分之一；
抛一对均匀的骰子，两个骰子的点数之和等于7的可能性是1/6；
这种陈述是什么意思呢？要回答这个问题，我们不得不回到数学的两大支柱——基础数学和应用数学。基础数学建立了基于定义和公理（规则系统）的思想和概念体系，然后从这些构造中推导出数学事实和定理。应用数学则采用这些数学并试图用它们来洞察世界。后文我将尝试以相对非正式的方式进行讲述，尽量避免“繁琐”的数学符号和“正式”的定义。
首先，概率既适用于有限结果的定义域上，也能被用在无穷的结果的定义域上。为了能够帮助理解这句话，这里有不同的例子来解释。比如有限结果的定义域：
苏珊女士想要一对双胞胎，她的孩子出生顺序一共有四种可能——两个男孩先后出生；两个女孩先后出生；先是女孩后是男孩；先是男孩后是女孩。我们只考虑这四种可能顺序。
对于无穷的结果定义域，例如，我们可能会捕到一条正在去美国西部某条河流产卵的鲑鱼，并对这条鲑鱼进行称重。称重的可能结果是鲑鱼所能达到的体重范围之间的一个实数——可能是无穷多个重量中的一个。
如果给出一个数据集，比如说30天内你的体重（可能是每天早上同一时间测量的）。人们往往会观察这些数字的波动——这些数大概不会相同。如果你想要了解这些数字的“规律”，一个方法就是去计算一些典型值，如“平均值”，这是一个非常具有吸引力的数。平均值通常是把所有的数值加起来除以试验的次数而得的。
使用单个数字来代表一个庞大的数据集的问题在于，表达不同东西的数字集往往会有相同的单个数字作为它们的代表。比如5，5，5，5，5，5的平均值是5，而 -3，-3，-3，13，13，13的平均值也是5。在科学和统计学中使用数字的早期发展之一是，人们认识到，多次“独立”地测量同一数字可能比一次只测量一个数字更可靠。由于测量装置和“人为”过程，无论如何，测量都不可避免地产生一些误差，但是人们可以使测量尽可能可靠。
与随机值的均值相似的是一个叫“期望值”的量。假设在某个游戏中，你有3/10的机会赢3美元，7/10的机会赢4美元。通过将结果与结果的概率进行加权，你可以看到如果你玩这样的游戏将会“平均”赢得多少钱。在上述情形下，期望值是你3/10的时间中你会得到3美元，7/10的时间中你会得到4美元，因此
期望值= 3(3/10)+ 4(7/10)= (9/10)+ (28/10)= 37/10 = 3.70。
如果你需要支付3.75美元才能玩这个游戏，那么平均每玩一次，你就会损失5分钱。在你赢了3美元的时候，你其实损失了75美分；而赢了4美元的时候你才会赚取25美分。但是因为输赢的频率不同，结果的概率不一样，你平均会损失5美分。注意，3.70不是游戏的结果，也不是概率。
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